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　　日本出版协会贡献奖得主──结城浩！

　　什么东西静止不动，加速度却非０？
　　解开向量的大小、方向、角度与加速度！

　　为什么人站在地上
　　不会因为重力而陷入地面？

　　在三维空间中，确定一条直线的方向，就能决定平面的方向；
　　在三维空间中，确定一条直线的方向，再点出一个点的位置，便能得到一个平面！
　　从向量到内积、平面方程式，再到球面方程式！

　　学习基础力学、等价与相等、内积的运算、向量的平均
　　掌握向量与函数空间、切线方程式的关系
　　马上开窍，轻松解题！

名人推荐

　　前师范大学数学系教授兼主任  洪万生  审订
 

探索数字的殿堂：代数与几何的交汇点 一部深入浅出、引领读者领略数学核心魅力的著作 本书并非聚焦于任何特定主题的“篇章”，而是旨在为广大学习者，特别是那些渴望跨越纯粹计算，真正理解数学概念内在逻辑与美感的读者，构建一座坚实的桥梁。我们将避开向量空间的特定探讨，转而将目光投向数学更为广阔的基石——代数结构与几何直觉的深刻融合。 第一部分：无形之网——代数结构的严谨构建 本卷首先着眼于代数运算的本质，探究其背后的公理体系与形式逻辑。我们不会局限于高中阶段对数字和基本方程的操作，而是深入到抽象代数（Abstract Algebra）的入门概念，但会以极其直观的方式呈现。 1. 群论的初探：对称性的语言 群（Group）是现代数学的基石之一。本书将以历史的视角，从早期对对称性（如旋转、反射）的观察出发，引出群的四个基本公理：封闭性、结合律、单位元和逆元。我们将通过具体的例子，如整数加法群、可逆矩阵集合，以及一个看似简单的拼图游戏的重新排列，来阐释这些抽象概念的实际意义。读者将学会如何“阅读”一个代数结构，识别其不变性和转换规则。我们强调的是，群论不仅仅是关于数字的，更是关于“变换”和“不变性”的哲学。 2. 环与域：算术的基石重塑 在理解了群的单操作结构后，我们将引入第二个操作，构建环（Ring）的概念。环是同时具备加法群结构和特定乘法结构的代数对象。我们将详细分析交换环、整环，并最终过渡到域（Field）。域是允许除法的环，是微积分和线性代数等高等数学得以顺利开展的必要土壤。重点在于区分不同结构之间的能力限制——例如，为什么在整数环中我们无法保证所有非零元素都有乘法逆元，而在有理数域中则可以。这种“限制”的探索，是理解数学精确性的关键。 3. 多项式代数：变量的魔力 多项式不仅仅是代入数值的表达式，它们构成了重要的代数结构——多项式环。我们将探讨多项式的因式分解，理解它们如何揭示隐藏在方程背后的根。更重要的是，我们将探讨多项式的代数性质如何影响其几何图像的形态，例如，多项式的根对应于函数图像与X轴的交点，而其导数则与图像的斜率和极值点息息相关。这里是代数与几何开始交织的第一个重要节点。 第二部分：空间的洞察——几何思维的深化 在代数基础构建稳固之后，我们将把注意力转向空间和形状的本质描述，但这里的几何，超越了欧几里得平面与立体几何的范畴。 4. 坐标系的演变与空间的映射 本书将审视坐标系的历史发展，从笛卡尔坐标系到参数方程，以及不同维度空间的概念。我们关注的核心是如何用代数语言描述几何对象，反之亦然。例如，抛物线、椭圆和双曲线在笛卡尔坐标系下可以被简洁地表示为二元二次方程，这本身就是代数与几何和谐统一的体现。我们将探讨坐标变换对图形描述的影响，并引入更抽象的视角来看待“距离”和“角度”的定义，为后续拓扑学的思考打下基础。 5. 欧氏几何的严谨性与非欧几何的启示 我们将回顾欧几里得几何的五大公设，特别是第五公设（平行公设）的深刻历史地位。然后，我们将通过思想实验，介绍黎曼几何和双曲几何的雏形，这并非为了复杂的计算，而是为了拓宽读者的心智边界：空间本身并非一成不变的背景，其内在属性（如曲率）可以通过代数规则来描述和定义。这种对“什么是空间”的哲学性追问，是数学思维成熟的标志。 6. 拓扑学的温柔触感：不变的性质 在本书的几何部分，拓扑学将作为终极工具出现。我们将介绍拓扑学的核心概念——连续变形（拉伸、扭曲，但不撕裂或粘贴）。在这个框架下，咖啡杯和甜甜圈（环面）在本质上是等价的。我们将探讨连通性、紧致性等拓扑性质，它们提供了一种比度量几何（欧氏几何）更为本质的、对形状的分类方式。理解拓扑学，意味着理解哪些几何特征是“坚固的”，不会因微小的扰动而改变。 结语：数学之美的统一性 全书的叙述风格力求清晰、逻辑严密，同时富含启发性。我们致力于展示：代数结构是描述事物关系和变换的精确工具，而几何直觉则是赋予这些工具以形态和意义的想象力。通过对群、环、域的结构分析，以及对空间描述方式的演变探索，读者将建立起一套统一的数学世界观，明白数学的各个分支是如何相互支撑，共同构建起我们所知的数字与空间的宏伟殿堂。本书的目标是培养读者用更深层次的眼光去审视数学问题，欣赏其形式之美与逻辑之严。

作者简介

结城浩

　　1963年生。写作有关程式语言、设计模式、密码、数学等领域的入门书。最新着作是「数学女孩系列」以及「数学女孩秘密笔记系列」。是一个最喜欢巴哈「赋格艺术」作品的新教基督徒。着作包括2011《数学女孩：费马最后定理》，2012《数学女孩：哥德尔不完备定理》，2013《数学女孩：随机演算法》、2014《数学女孩：伽罗瓦理论》（世茂出版）等。

　　www.hyuki.com/

译者简介

陈朕疆

　　自由译者。大学念生命科学、硕士念财务管理，对各领域的知识都很好奇。

　　在日本留学时有感于日本出版业的蓬勃，希望能把好书介绍给更多人认识，而有了成为译者的想法，欢迎批评指教。email: czj.kyoto@gmail.com
 

献给你iii
序章ix

第1章助我一臂之力1
1.1 我的房间1
1.2 站在地面上的人3
1.3 力6
1.4 等速度直线运动13
1.5 人有两只脚15
1.6 「力」是什么？ 16
1.7 用线吊挂重物18
1.8 力的相加26
1.9 张力的相加27
第1 章的问题36

第2章无数相同的箭号41
2.1 在图书室41
2.2 「相等」的定义46
2.3 弯弯的向量49
2.4 无数相同的箭号53
2.5 绘制向量60
2.6 「等价」与「相等」的定义68
2.7 月历70
2.8 向量74
第2 章的问题80

第3章向量的乘法85
3.1 我的房间85
3.2 cos 91
3.3 思考内积的定义100
3.4 影子的方向102
3.5 内积的定义104
3.6 看起来像乘法吗？ 107
3.7 交换律与内积108
3.8 分配律与内积110
3.9 结合律与内积111
3.10 具体的例子119
第3 章的问题127

第4章看透图形的本质131
4.1 在图书室131
4.2 作图帮助思考137
4.3 向量的内积142
4.4 直线的参数式152
4.5 求切线160
4.6 米尔迦165
4.7 函数空间166
第4 章的问题180

第5章向量的平均183
5.1 我的房间183
5.2 向量186
5.3 向量的平均190
5.4 为什么可以这样算197
5.5 m:n 的内分点204
5.6 由梨的疑问215
5.7 证明220
第5 章的问题225

尾声229
解答235
献给想要深入思考的你271
后记283
索引287
 

序

　　嘿，你在哪里？
　　我看着脚下说。
　　嘿，你往哪里去？
　　我看向远方说。
　　加速度与力，使向量现身；
　　平移与旋转，使向量舞动；
　　方向与大小，使向量成形。
　　时而相加、时而相减、时而相乘。
　　嘿，你在哪里？
　　我？我就在这里。
　　嘿，你往哪里去？
　　我？我无所不往
　　不论前往何处，都和你一起。
　　不论前往何方，都与我一起。
　　让我们启程寻找向量吧。
 

1.1    我的房间

由梨：「哥哥！由梨想到一个很有趣的东西喔！」

我：「什么啊？这么突然。」

我的表妹由梨是国中生，她常跑到我的房间找我玩，一起研究如何解开她带来的数学谜题。

由梨：「有没有哪个东西是『静止不动，加速度却不是0』呢？」

我：「静止不动，加速度却不是0？」

由梨：「快告诉我！」

我：「这个嘛……的确是有这种东西啦。」

由梨：「果然没错！」

我：「举例来说，当我们把球直直往上抛，球一开始会向上移动，但速度越来越慢。在往上的速度消失的那一瞬间，球静止不动，下一秒便开始下落。」

由梨：「嗯嗯。」

我：「不过，这颗球的加速度不是0。地球在这颗球上施加了重力，这股力量使球产生加速度。之前我不是有提过吗？力会产生加速度*。」

由梨：「没错。」

我：「地球重力造成的加速度称作g。当然，g不等于0。虽然球的速度一直在改变，但加速度不会变，因为地球的重力不会随时间改变。」

由梨：「原来是这样啊……」

我：「所以，就算加速度不是0，物体也可能静止不动，虽然这现象只会出现一瞬间。」

由梨：「嗯……」

我：「但如果物体『一直』保持静止，就表示它的速度一直是0。既然速度都没变，那么加速度当然也是0啰。」

由梨：「这样不是很奇怪吗？」

我：「由梨有什么想法呢？」

1.2    站在地面上的人

由梨：「假设，地面上站着一个人。」

我：「嗯。」

由梨：「之前哥哥说明力和加速度，有提到『加速度是位置的微分再微分』，以及『力会产生加速度』等……」

我：「嗯，是啊。」

由梨：「重力也作用在这个站立的人身上吧？重力也是力的一种吧？」

我：「当然啰。」

由梨：「可是这个人是静止的，不是只有一瞬间静止，而是一直保持静止。他的速度一直是0，即表示速度没改变……所以加速度是0吧？」

我：「喔妳是要问这个问题啊！」

由梨：「我觉得明明有作用力，加速度却是0……好奇怪！」

我：「原来如此。妳觉得『力作用在物体上，加速度不应该等于0』啊。这个想法很好，由梨果然很聪明呢！」

评分☆☆☆☆☆

《数学女孩秘密笔记：向量篇》的出现，对我来说，就像是数学学习道路上遇到的一位知己。书名本身就充满了吸引力，“秘密笔记”四个字，在我脑海中勾勒出了一幅画面：在某个宁静的午后，一位聪慧的数学女孩，在她的书桌前，用笔尖在纸上留下她对向量世界的独特见解。我期待的，正是这种带有个人色彩、充满探索精神的数学笔记。我希望它不会像教科书那样，仅仅是冰冷地陈述事实，而是充满了温度和思考。我希望作者能够分享她在学习向量过程中遇到的困惑，以及她是如何一步步克服这些困难，最终豁然开朗的。我尤其希望，书中能有一些不寻常的切入点，用一些意想不到的比喻或者类比，来解释向量的本质。我曾经在学习向量时，感觉它像是飘在空中的幽灵，摸不着边际，但又无处不在。我渴望这本书能够帮助我找到一个稳固的支点，让我能够真正地“抓住”向量，理解它的内在逻辑。而且，“数学女孩”这个标签，也让我觉得这本书不会那么严肃，或许会带有一些轻松的幽默感，让学习的过程不再是煎熬，而是一种享受。我非常期待，这本书能够成为我手中的一盏明灯，照亮我在向量世界里前行的道路。

评分☆☆☆☆☆

《数学女孩秘密笔记：向量篇》这本书，从拿到手的那一刻起，就散发着一种独特的魅力。书名本身就充满了神秘感和吸引力，“秘密笔记”这四个字，仿佛在邀请读者进入一个不为人知的数学世界，去探索那些隐藏在表面之下的智慧。我一直觉得，数学的学习，很多时候需要一种“顿悟”，而这种顿悟，往往源于那些不经意的思考和独特的视角。我非常期待，在这本“秘密笔记”中，能够找到那种能点亮我思路的火花。我猜想，作者在书中一定是用一种非常放松、非常个人的方式，记录了她对向量的理解和感悟，也许会穿插一些她在学习过程中遇到的趣事，或者是一些有趣的数学小实验。而且，“数学女孩”这个身份，也让我对这本书充满了期待。我希望它能有一种不同于传统数学书籍的风格，或许更加注重直观的理解，更加强调数学的趣味性和应用性，而不是仅仅停留在公式和定理的层面。我渴望在这本书中，能够看到向量是如何在作者的笔下变得鲜活起来，不再是冰冷抽象的符号，而是充满生命力的工具。我希望这本书能够帮助我，摆脱对向量的恐惧，真正地爱上它，并从中获得解决问题的灵感。

评分☆☆☆☆☆

拿到《数学女孩秘密笔记：向量篇》的那一刻，我的心情就像收到了一份精心准备的礼物。封面设计简约而不失雅致，淡淡的蓝色调和流畅的线条，隐约透露出向量那种既有方向又有大小的特性。我特别喜欢触感温润的纸张，翻阅时有一种舒适的满足感，这无疑会提升阅读的体验。我一直认为，优秀的数学书籍，不仅仅在于内容的深度和广度，更在于它能否以一种引人入胜的方式，将抽象的数学概念具象化，让读者产生共鸣。而“秘密笔记”这个副标题，更是勾起了我极大的兴趣。它暗示着，这本书并非一本枯燥的教科书，而更像是作者在探索向量世界的个人心路历程，里面可能包含着许多不为人知的思考、感悟，甚至是“走过的弯路”。我希望在这本书中，能够看到一种全新的视角来理解向量，不是那种死板的定义和推导，而是通过一种更加直观、更加贴近生活的方式，去感受向量的魅力。我期望作者能够用她独特的语言，将那些复杂的公式和定理，转化为一个个生动的故事，一个个有趣的谜题，让我在不知不觉中，就领略到向量的强大力量。我甚至可以想象，书中会穿插着一些作者的手绘图，那些充满灵性的线条，也许就是解开向量奥秘的钥匙。

评分☆☆☆☆☆

当我看到《数学女孩秘密笔记：向量篇》这本书时，我的目光就被深深吸引了。书名中的“秘密笔记”四个字，给我一种非常独特的感受，仿佛是一份珍贵的手稿，记录着作者在向量领域探索过程中的点点滴滴。我一直觉得，真正的数学学习，需要的不仅仅是课本上的知识，更是一种对数学的热爱和探索的精神。我希望这本书能够为我带来一些不同寻常的视角，让我能够从一个全新的角度去理解向量。我猜想，书中一定有很多作者自己独到的见解，那些经过她自己思考和实践才形成的理解方式。我期待，这本书的语言会非常生动有趣，不会像传统的数学书籍那样枯燥乏味，而是充满了对话感和启发性。我尤其希望，作者能够分享一些她在学习向量过程中遇到的挑战，以及她是如何巧妙地克服这些挑战的。而且，“数学女孩”的称号，也让我觉得这本书会带有一些独特的女性视角，可能在解释一些概念时，会更加注重细节和感受。我渴望这本书能够成为我探索向量世界的向导，带我领略向量的奥秘，并激发我对数学更深层次的兴趣。

评分☆☆☆☆☆

当我看到《数学女孩秘密笔记：向量篇》这本书时，我的内心充满了期待。书名中的“秘密笔记”四个字，就像一个邀请函，邀请我进入作者的数学世界，去发现那些隐藏的智慧和独特的见解。我一直相信，优秀的数学书籍，不仅仅是知识的搬运工，更应该是思想的启迪者。我期待在这本书中，能够看到作者如何以一种非常个人化、非常细腻的方式，来解读向量这个概念。我猜想，这本书的语言会非常生动，充满了作者自己的思考和感悟，而不是冰冷的公式堆砌。我希望能够通过这本书，获得一些不寻常的学习方法，那些能够帮助我更直观、更深刻地理解向量的精髓。而且，“数学女孩”这个称谓，也让我对这本书充满了好奇。它可能意味着一种更加注重感性理解和形象思维的学习方式，能够帮助我建立起对向量的整体认知。我渴望这本书能够成为我学习向量路上的一个重要伙伴，它不仅教会我知识，更能让我感受到数学的魅力，激发我持续探索的热情。

评分☆☆☆☆☆

刚收到这本《数学女孩秘密笔记：向量篇》，还没来得及深入翻阅，光是封面设计和纸张的触感就让我对它充满了期待。我一直觉得，数学学习不应该仅仅是公式的堆砌和定理的记忆，更应该是一种探索的过程，一种发现美的旅程。而“秘密笔记”这个名字，恰恰点燃了我心中对未知的好奇。我设想，在这本书里，作者一定用一种非常私密、非常个人化的方式，记录了她在向量世界里的那些闪光时刻，那些让她豁然开朗的顿悟，那些她自己摸索出的、独一无二的理解路径。我非常期待能从这些“秘密”中，窥见向量这个看似抽象的概念，是如何在作者的笔下变得鲜活、生动，甚至充满趣味的。我希望这本书不仅仅是传授知识，更能激发我自己的思考，让我不仅仅是被动地接受，而是主动地去探索，去构建属于自己的向量认知体系。我猜想，书中一定会有很多不同于课本的讲解方式，或许会结合一些生活中的例子，或者是一些富有创意的几何图形，让那些原本让人头疼的向量运算和定理，变得更容易理解和记忆。而且，“数学女孩”这个名字，本身就带着一种青春的活力和独特的视角，这让我相信，这本书的语言风格也会是轻松活泼的，不会像传统的数学书籍那样枯燥乏味，而是充满了对话感和温度。我迫不及待地想要沉浸其中，去体验一场属于“数学女孩”的向量奇遇记。

评分☆☆☆☆☆

当我拿到《数学女孩秘密笔记：向量篇》时，一股莫名的兴奋涌上心头。首先，吸引我的就是这个充满诗意的书名，它暗示着这本书不仅仅是关于数学知识的传递，更是一种对数学探索的独特记录。我一直对那些“秘密笔记”式的读物情有独钟，因为它们往往充满了作者最真实的想法和最深刻的感悟，不像教科书那样经过层层删改，显得更加鲜活和触手可及。我非常期待在这本书中，能够看到作者如何用一种非常个人化、非常细腻的方式来解读向量。我设想，这本书的语言风格会非常独特，或许会像在和一位朋友聊天一样，娓娓道来，将那些原本枯燥乏味的数学概念，变得生动有趣。我希望作者能够分享她在学习向量过程中的一些“ Aha!”时刻，那些让她茅塞顿开的瞬间。而且，“数学女孩”这个称谓，也让我觉得这本书会有一种特别的视角，可能更注重直观的理解，更侧重于数学的趣味性，而不是一味地追求严谨的逻辑推导。我希望这本书能够帮助我，将向量这个抽象的概念，变得更加具象化，更能让我感受到它在现实世界中的应用和意义。我期待，这本书能为我打开一扇新的窗户，让我用全新的眼光去审视向量。

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《数学女孩秘密笔记：向量篇》这本书，仅仅是拿到手，就让我感到一种满满的惊喜。书名本身就充满了诱惑力，“秘密笔记”这四个字，勾起了我心中对未知的渴望，仿佛是一扇通往数学深处的大门，等待着我去开启。我期待，这本书能够以一种非常个人化的方式，呈现作者对向量的理解，而不是简单的知识罗列。我希望能够在这本书中，看到一些作者自己摸索出的、独一无二的学习方法，那些能让她豁然开朗的瞬间。我甚至可以想象，书中会包含一些作者的随笔，或者是一些对数学的独到见解，让阅读的过程充满了趣味性和思想的启迪。而且，“数学女孩”这个标签，也为这本书增添了一层特别的色彩。我希望这本书的语言风格能够是轻松活泼的，充满青春的活力，能够用一种更加贴近生活的方式，来讲解向量的概念，让那些原本觉得枯燥的数学知识，变得生动有趣，易于接受。我渴望这本书能够成为我手中一份特别的礼物，它不仅传授知识，更能点燃我对数学的热情，让我主动地去探索和发现。

评分☆☆☆☆☆

《数学女孩秘密笔记：向量篇》这本书，仅从书名就能感受到一种别样的数学探索之旅。“秘密笔记”四个字，瞬间就勾起了我的好奇心，仿佛是在邀请我偷窥一份属于数学爱好者的珍贵宝藏。我一直认为，真正能打动人心的数学书籍，不仅仅是知识的传递，更是思想的碰撞和心灵的共鸣。我期待在这本书中，能够看到作者如何以一种非常私密、非常个人化的方式，去记录她对向量世界的理解和感悟。我设想，这本书的语言会充满了温度和人情味，就像一位经验丰富的导师，在循循善诱地引导着我。我希望作者能够分享一些她独特的学习心得，那些在她脑海中闪现过的灵光乍现，那些让她克服困难的智慧。而且，“数学女孩”这个定位，也让我对这本书充满了期待。它可能意味着一种更加注重直观感受和形象思维的学习方式，能够帮助那些对数学望而却步的读者，找到学习的乐趣。我渴望在这本书中，能够感受到向量的生命力，理解它在现实世界中的广泛应用，从而激发出我更深入学习的动力。

评分☆☆☆☆☆

刚翻开《数学女孩秘密笔记：向量篇》，我立刻就被它吸引住了。书名中的“秘密笔记”四个字，本身就带有一种探索的神秘感，仿佛能带领读者进入一个不为人知的数学世界。我一直认为，优秀的数学读物，不仅仅在于内容的专业性，更在于它能否以一种引人入胜的方式，将抽象的概念变得生动有趣。我期待在这本书中，能够看到作者如何用她独特的视角，去解读向量这个数学中的重要分支。我猜想，这本书不会像传统的教科书那样，仅仅是罗列定义和公式，而是会充满作者个人的思考和感悟，甚至可能包含一些她在探索过程中遇到的趣事和灵感。我尤其希望，作者能够分享一些不同于主流讲解方式的理解方法，用一些巧妙的比喻或者生动的例子，来帮助读者建立对向量的直观认识。而且，“数学女孩”这个名字，也为这本书增添了一抹青春的活力和独特的女性视角。我希望这本书的语言风格是轻松活泼的，能够激发起我对向量学习的兴趣，让我不再觉得它是一个遥不可及的难题。我渴望这本书能够成为我手中的一把钥匙，帮助我打开向量世界的奇妙大门。