线性代数的天龙八步（三版） pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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读书名为什么是《线性代数的天龙八步》而不是《线性代数的天龙八部》？

　　— 原因，当然不是指～这本《线性代数的天龙八步》是『金庸』武侠小说《天龙八部》的『线性代数山寨版』

　　— 原因，当然更不是指～欧吉桑跟欧巴桑要用『线性代数』来研究分析『佛教护法队伍』里，以『天、龙』为首的『八类』神话种族（包含︰天众、龙、夜叉、阿修罗、迦楼罗、干闼婆、紧那罗、摩唿罗迦）

　　— 真正的原因，是指～为了让同学在面对『线性代数』这门『繁杂、易犯错、却极端有用又需要长长久久接触』的数学时，能够安心面对并全面掌握其精髓的的『八套』神妙『行进步法』！

　　在《线性代数的天龙八步》这本书里，欧吉桑跟欧巴桑贴心地用『Step by step（让你可以不会陷入繁杂的迷雾中）』的方式、用『大量备註框（让你清楚每一个段落的因果转承）』的形态、用『中英文混杂（让你既能记得住专有名词又能轻松阅读）』的写法来呈现『线性代数』的八大主题（『向量空间』、『线性变换』、『代表矩阵』、『特征值』、『内积空间』、『双线型』、『矩阵与行列式』、『特殊应用问题』）里头的：

　　◎有什么
　　『定义、定理、题型、策略』— 是你一定要知道的！

　　◎是什么
　　『前述东东是啥米碗糕？价值是啥米（重不重要？）』— 是你一定要作判断的！

　　◎为什么
　　『前述见解～对吗 ?』— 是你一定要给个合理说法的！

　　◎怎么用
　　『解题关键、应用程序、回答方式、应注意事项有哪些东东？够好吗？了解吗？』— 是你一定要谨记在心的！
 

深入探索代数迷宫：现代应用视角下的矩阵理论与向量空间 图书简介 本书旨在为读者提供一个全面而深入的线性代数知识体系，侧重于现代科学与工程领域中的实际应用。我们摒弃了传统教材中过于抽象和割裂的叙事方式，转而采用一种更加结构化、联系紧密的研究路径，旨在帮助学习者不仅掌握计算技巧，更能深刻理解其背后的数学原理及其在数据科学、机器学习、物理学、信号处理等前沿领域的强大支撑作用。 本书的结构围绕“核心概念构建”、“计算工具精炼”与“应用场景驱动”三大支柱展开，力求在严谨性与易懂性之间找到完美的平衡点。 --- 第一部分：构建基石——向量、线性组合与空间结构 本部分奠定整个线性代数大厦的基石。我们首先从几何直觉出发，引入向量的概念，将其置于欧几里得空间 $mathbb{R}^n$ 中，强调其作为“有向线段”和“数据点的双重身份”。 核心内容包括： 1. 向量的运算与几何意义： 详细阐述向量的加法、数乘，以及最重要的内积（点积）。内积不仅是计算角度和投影的工具，更是定义空间“距离”和“正交性”的根本。 2. 线性组合与张成空间（Span）： 这是理解所有后续概念的关键。我们详细剖析了如何通过线性组合来“构建”一个空间，并引入张成空间的概念，直观展示了不同向量集合所能覆盖的区域。 3. 线性相关性与基（Basis）： 深入探讨线性相关与线性无关的判定方法及其重要性。随后，引入基这一核心概念——用最少量的、相互独立的向量来描述整个向量空间。我们严格证明了基的向量个数是唯一的，这是维度理论的直接推论。 4. 子空间（Subspaces）的系统化研究： 重点分析四种基本子空间：列空间（Column Space, $Col(A)$）、零空间（Null Space, $Nul(A)$）、行空间（Row Space, $Row(A)$）和左零空间（Left Null Space）。通过高斯消元法（RREF）的实际操作，展示如何系统地找出这些子空间的基和维度。我们强调秩-零化度定理（Rank-Nullity Theorem）在连接矩阵结构与解空间方面的核心地位。 --- 第二部分：动力核心——矩阵代数与线性变换 本部分将视角从静态的向量集合转移到动态的线性变换，理解矩阵的本质是描述空间中线性操作的“机器”。 核心内容包括： 1. 矩阵作为线性变换： 将 $m imes n$ 矩阵 $A$ 视为一个将 $mathbb{R}^n$ 映射到 $mathbb{R}^m$ 的函数 $T(mathbf{x}) = Amathbf{x}$。我们详细解释了矩阵的列如何构成变换后的基向量的像，从而完全定义了该变换。 2. 矩阵运算的几何解释： 矩阵乘法不再仅仅是数字的罗列，而是变换的复合。矩阵加法、转置、逆矩阵的几何意义被清晰阐述。 3. 行列式（Determinant）的深度剖析： 行列式被赋予了有向体积缩放因子的几何意义。我们不仅介绍代数计算公式（如代数余子式展开），更关注其在判断矩阵可逆性、理解线性方程组解的唯一性以及在多重积分变量替换（雅可比行列式）中的应用。 4. 线性方程组的求解： 系统回顾并深化高斯消元法，强调其作为求解 $Amathbf{x}=mathbf{b}$ 的通用算法地位。重点分析三种情况（唯一解、无穷多解、无解）的几何对应关系，以及LU分解作为高效求解多组右侧向量问题的工业化方法。 --- 第三部分：精炼与优化——特征值、对角化与正交性 这是线性代数从“描述”迈向“分析与优化”的关键阶段，聚焦于寻找系统中最本质、最稳定的结构。 核心内容包括： 1. 特征值与特征向量（Eigenvalues and Eigenvectors）： 它们代表了在线性变换作用下方向不发生改变的特殊向量。我们详细推导特征方程，并讨论了特征值/特征向量的代数重数与几何重数的关系。 2. 相似性与对角化（Diagonalization）： 当矩阵拥有足够多的线性无关特征向量时，我们可以通过相似变换将其对角化 $A = PDP^{-1}$。这一过程极大地简化了矩阵的幂运算 $A^k$ 和高阶微分方程的求解。我们清晰界定了可对角化的充要条件。 3. 正交性：理论与实践： 正交性是线性代数中最“优美”的结构。我们引入施密特正交化（Gram-Schmidt Orthogonalization）过程，用以构造任意子空间的正交基，这极大地简化了投影和最小二乘问题的计算。 4. 正交矩阵与QR分解： 正交矩阵 $Q$ 因其保持长度和角度的特性（$Q^T Q = I$）在数值计算中至关重要。QR分解作为一种比LU分解更稳定的分解形式，是求解最小二乘问题的基石。 5. 对称矩阵的谱定理（The Spectral Theorem）： 这是线性代数理论的巅峰之一。我们阐述了实对称矩阵总是可正交对角化的，并且其特征值必为实数。这一理论是理解二次型、主成分分析（PCA）和稳定性分析的理论基础。 --- 第四部分：超越欧氏空间——抽象化与应用拓展 本部分将理论推广到更广阔的数学框架，并展示其在现代计算中的威力。 核心内容包括： 1. 内积空间（Inner Product Spaces）： 将向量空间的概念推广到包含函数空间（如傅里叶分析的基础）和多项式空间。内积的概念泛化，使得“正交”和“投影”的几何直觉可以应用于无限维空间。 2. 最小二乘法（Least Squares）： 当方程组 $Amathbf{x}=mathbf{b}$ 无精确解时，如何找到“最佳近似解”？我们从几何上推导出法方程，并解释最小二乘解实际上是向量 $mathbf{b}$ 在矩阵列空间上的正交投影。 3. 奇异值分解（Singular Value Decomposition, SVD）： SVD被誉为“矩阵的终极分解”。它适用于任何矩阵（不论方阵与否，不论可逆与否）。我们详细解释了SVD的几何意义——它描述了一个旋转、缩放（由奇异值决定）和另一个旋转的复合过程。SVD是图像压缩、推荐系统和伪逆计算的核心。 4. 应用案例： 结合具体计算实例，展示线性代数如何驱动实际技术： 马尔可夫链与稳态分布： 利用特征向量分析随机过程的长期行为。 线性回归的矩阵表述： 最小二乘法在统计建模中的直接应用。 图论与网络分析： 利用邻接矩阵的性质分析网络连通性。 本书特色： 本书的每一章都紧密衔接“计算”与“理解”。我们提供了大量步骤清晰的计算示例，同时穿插了“概念辨析”专栏，用于剖析学习者常犯的错误和概念误区。通过这种方式，读者不仅能够熟练运用工具，更能建立起对矩阵、空间和变换之间深刻关系的直觉。它不仅是一本教材，更是一本引导读者穿越代数迷宫、直抵现代数学核心的实用指南。

作者简介

王富祥

　　【现任】
　　国立台北教育大学资讯科学系专任教授。

　　【经历】
　　国立台北师范学院数学教育学系系主任、国立台北教育大学副校长、理学院院长、澎湖创意中心主任、亚太区小学数学奥林匹亚台湾区培育计画指导教授、国科会「国小高年级数学资优生的数学学习评量」研究计画共同主持人。

　　【学历】
　　国立中央大学数学博士、国立中央大学数学硕士、国立成功大学数学学系学士。

　　【专长】
　　偏微分方程、泛函分析、积／微分方程、差分方程、动态时间系统、生产管理分析、乏晰理论、资优培育。擅长引导式的数学方式，突破学习者的心防，曾带领学生参加亚太地区奥林匹亚数学竞赛，连续获得多届冠军。

　　【着作】
　　《七把刀弄懂微积分》、《工程数学的降魔十一掌》、《线性代数的天龙八步》、《太极机率》、《高等微积分的九阳真经》、《欧吉桑ㄍㄨㄥ数学：数学原来也可以酱子！》、《欧吉桑ㄍㄨㄥ数学：你1～9年级数学资优生了没？算数篇；几何篇；代数篇；规律、判断篇》、《欧吉桑ㄍㄨㄥ数学：抓出躲在「6÷2(1＋2)」ㄟ细节魔鬼》、《数学学测‧指考15个得分要诀(上、下册)》《24小时就爱上数学：1～9年级最佳数学入门书》、《数学基测，轻松拿高分！(上、下册)》；合着《数学好好玩：1小时学会22×22》；《呒惊微积分》、《呒惊工程数学》、《国考突破(四)数的推理》、《微积分》、《精准微积分》、《精准工程数学》期刊论文近百篇。

游雪玲

　　【现任】
　　圣约翰科技大学通识教育中心专任副教授。

　　【经历】
　　圣约翰科技大学通识教育中心主任。

　　【学历】
　　国立台湾科技大学工业管理博士、淡江大学数学研究所硕士、国立成功大学数学学系学士。

　　【专长】
　　微分方程、品质管理、机率、统计、最佳化。
 

作者序

第一章 向量空间
第二章 线性变换
第三章 代表矩阵
第四章 特征值
第五章 内积空间
第六章 双线型

附录A 矩阵与行列式
附录B 特殊应用问题

 

评分☆☆☆☆☆

我一直认为，要真正掌握一门学问，不应该仅仅停留在理论层面，更要理解其背后的思想和应用。《线性代数的天龙八步（三版）》在这方面做得非常出色。作者并没有回避线性代数在实际世界中的应用，而是通过大量的实例，展示了它在计算机图形学、机器学习、数据科学、经济学等多个领域的强大威力。比如，书中对图像处理中的矩阵变换的讲解，让我明白了为什么照片可以旋转、缩放，以及如何实现这些效果；在讲解主成分分析（PCA）时，作者清晰地阐述了它如何帮助我们从海量数据中提取关键信息，这对于我理解当下热门的AI技术非常有帮助。更重要的是，作者不仅仅是列举应用，他还在解释概念的同时，巧妙地将理论与实践联系起来，让你在理解抽象概念的同时，也能预见到它们在实际问题中是如何解决的。这种“知行合一”的学习方式，让我对线性代数的应用前景有了更深刻的认识，也激发了我进一步学习和探索的兴趣。

评分☆☆☆☆☆

我一直觉得，一本好的教材不仅仅是知识的传递者，更应该是学习者的良师益友。《线性代数的天龙八步（三版）》完美地诠释了这一点。作者在书中展现出的对线性代数的热爱和深刻理解，感染着每一位读者。他不仅仅是在“教书”，更是在“育人”，引导读者去思考，去探索，去发现数学之美。我特别喜欢书中那些“点睛之笔”——作者在关键概念处插入的思考题，或者对某个重要定理的哲学性解读。这些内容让我不仅仅满足于记住公式和定理，更能深入思考它们背后的数学思想和逻辑。书中的语言风格也十分亲切，没有那种高高在上的学术腔调，而是像一位经验丰富的长者，耐心细致地为你讲解。每次读完一章，我都会有一种豁然开朗的感觉，对线性代数的理解也更加透彻。这本书已经成为我学习数学过程中不可或缺的伙伴。

评分☆☆☆☆☆

这本书最让我惊喜的一点，是它在“难度梯度”上的精心设计。我之前接触过一些线性代数的教材，要么过于浅显，感觉学完后还是似懂非懂；要么过于深奥，一开始就被大量复杂的符号和概念吓退。而《线性代数的天龙八步（三版）》则提供了一种平滑的学习曲线。它从最基础的概念入手，比如向量的加法和数乘，矩阵的基本运算，然后逐步深入到向量空间、线性变换、特征值与特征向量等核心内容。在每一个阶段，作者都给了足够的篇幅去解释和示范，确保读者能够扎实地掌握前一个概念，再进入下一个。即使遇到一些比较难理解的部分，书中也会提供一些“预备知识”或者“拓展阅读”的建议，帮助我循序渐进地攻克难关。这种由浅入深、由易到难的学习路径，极大地增强了我的学习信心，让我觉得学好线性代数并非遥不可及。

评分☆☆☆☆☆

对于我这种追求严谨和深度学习的读者来说，《线性代数的天龙八步（三版）》提供的论证和推导过程，无疑是这本书最大的亮点之一。作者在讲解每一个定理和性质时，都非常注重逻辑的严密性，从基础公理出发，一步步通过清晰的逻辑链条导出结论，不留任何含糊不清的地方。这对于培养我的数学思维和严谨的学术态度至关重要。我特别欣赏作者在证明过程中采用的多种方法，有时候会提供一种直接的代数证明，有时候又会结合几何直观来辅助理解，这不仅拓宽了我的思路，也让我能够从不同的角度去理解同一个数学结论。而且，书中给出的习题也很有代表性，既有巩固基础概念的练习，也有挑战思维的综合题，能够有效地检验我对知识的掌握程度。通过反复思考和练习，我感觉自己的数学逻辑能力得到了显著提升。

评分☆☆☆☆☆

这本书真是彻底颠覆了我对数学的刻板印象！我之前学线性代数的时候，总是感觉那些矩阵、向量、空间的概念像是从外太空飘来的，完全抓不住重点，也看不到它们到底有什么用。但当我翻开《线性代数的天龙八步（三版）》时，简直就像打开了新世界的大门。作者就像一个经验丰富的老前辈，用极其通俗易懂的语言，把那些复杂的数学原理拆解得丝丝入扣。他不是直接扔给你一堆公式和定义，而是通过一个个生动形象的比喻，从最基础的概念讲起，一步步引导你深入理解。我尤其喜欢他对几何直观的强调，比如讲到向量时，他会让你想象成箭头，讲到空间时，会让你在三维世界里遨游。这种“看得见”的数学，让我瞬间觉得线性代数不再是枯燥的符号游戏，而是描绘现实世界的有力工具。而且，书中穿插的那些小故事和历史背景，也让学习过程充满了趣味性，感觉不像是在“啃书”，更像是在和一位博学的老师聊天。即使我平时对数学感到头疼，读这本书也一点都不觉得吃力，反而越读越有劲，充满了探索的乐趣。