具体描述
反思、论证、练习与解题
跟着数学家探索世界
数学史、定义与公式解说、习题演练……
数学领域的价值与意义是什么？
从现实到抽象，将文字化为数学语言。
数学素养的培养，从国中数学开始
目的在于培养解决问题的能力！
ＮＨＫ、《日本经济新闻》、《东洋经济週刊》
日本各大媒体杂志报导，
东京大学毕业、数学奥林匹克参赛者，
日本最强数学补习班创办人、数学教育专家
──永野塾主持人永野裕之，
带你从国中数学开始，
探索基础数学领域：几何、代数、函数、机率与统计学。
永野裕之老师，累积十数年教学经验，有感于学生会解题、考试拿高分，却没有数学素养，因而决定拆解国中数学，从数学史的发展切入，提醒大家，学习数学目的在于培养解决问题的能力。在反思、论证、练习与解题的过程中，体会从现实到抽象，运用人类独具的想像力，将文字化为简洁的数学语言，最终建立数学素养与能力。
「图形──几何学」的学习重点：
Ｉ「论证」方法
II 分类的方法与运用
III採取不同的视角
「数与式──代数学」的学习重点：
I 想像力
II 合理的过程
III 简化题目
「函数──分析学」的学习重点：
I 变数
II 因果关系
III 1对1对应（图）
「资料的运用──机率、统计学」的学习重点：
I 比较的合理性
II 资料的整理
III 随机
名人推荐
前师大数学系主任 洪万生 老师 审订
著者信息
永野裕之
1974年生于东京。日本东京大学理学部地球行星物理学系毕业。日本东京大学宇宙科学研究所（现JAXA）肄业。高中时期曾参加数学奥林匹克竞赛。现为个别辅导补习班・永野塾数学补习班负责人。数学补习班也招收成年人，广受日本各界媒体报导。日文着作有《写给大人的数学魔法书》、《统计学的数学教室》（钻石社）、《再次接触微积分》（昂舍）、《东大教授之父亲授 脑袋变聪明的学习法》（PHP研究社）、《唤醒你与生俱来的数学力》（台湾脸谱出版）、《数学式的逻辑思考入门》（SCC）等等。
审订者简介
洪万生
美国纽约城市大学（CUNY）科学史博士，国立台湾师范大学数学系学士、硕士。国立台湾师范大学数学系教授兼主任（2007/8/1-2009/7/31）、台湾数学教育学会理事长（2007-2009）、国际科学史学院通讯会员、Historia Mathematica（国际数学史杂志）编辑委员、《HPM通讯》发行人、台湾数学（虚拟）博物馆创始人之一。
译者简介
卫宫纮
清华大学原子科学院学士班毕。现为自由译者。译作有《上司完全使用手册》（东贩）、《超慢跑入门》（商周）、《男人懂了这些更成功》（潮客风）、《世界第一简单电力系统》（世茂）……等。赐教信箱：emiyahiro@hotmail.com.tw
图书目录
第1章 图形──几何学
哲学始于几何学
巴斯卡的说服术
广为流传《几何原本》的定义与公理
「分类」方法与运用
不同视角──训练水平思考能力
学会「好的形式」──证明（论证）推演方法（国二）
何谓「正确的推论」？
证明的第一步──三角形的全等性质（国二）
「外项的积＝内项的积」──三角形的相似性质（国三）
相似的问题练习
国中数学的重点──毕氏定理（国三）
蕴含许多定理的「美丽图形」──圆（国二、国三）
圆的题目练习
练习从「相反的视角」切入──面积和长度（国二）
练习「转换的视角」──毕氏定理的应用（国二）
第2章 数与式──代数学
西方希腊、东方印度
长年不被接受的「负数」概念
诞生于古代东方文明的「代数学」
两位代数学之父
求解方程式的要素
算术和数学的差异
挑战各种公式解
演绎思考的利弊
概念性的数──负数（国一）
「负数×负数＝正数」的理由
看不见却存在的数──平方根（国二）
适用于《几何原本》的正确解题法──一次方程式（国一）
代入法才是消去未知数的捷径──联立方程式（国一）
挑战国中数学最难的数学式变形──二次方程式（国二）
简化题目的练习──方程式的应用（国一到国三）
第3章 函数──分析学
邂逅「变数
笛卡尔的「革命」──解析几何学的诞生
欧拉开创的「分析学」
日本的「函数」渊源
因果关系
1对1对应的用法──「计算」的语源
邂逅变数──函数
推导函数的基本──变化的比例
追查原因──函数的利用（国一到国三）
观察变化──函数与图形（国一至国三）
第4章 资料的运用──机率、统计学
机率论发展初期的争论①
机率论发展初期的争论②
机率论发展初期的争论③
「拉普拉斯」的恶魔
统计学家最有吸引力吗？
近代统计学之父
南丁格尔与统计学
茶会与推测统计
随机的困难度与重要性
确认「出现机率相同」──机率（国三）
掌握资料的特征──资料整理（国三）
由部分推测全体──抽样调查（国三）
结语
日文参考文献
数学史相关年表
图书序言
一开始我必须先说清楚，本书不是从头学习国中数学。
本书沿循着数学历史，以国中数学来传达学习数学的意义与价值。
你还记得升上国中一年级时的春天吗？背后少了双背带书包，内心是不是感到些许不安呢？穿着宽松的制服、看见校园内学长姐的姿态，是不是强烈意识到自己登上大人的阶梯呢？我到现在依然记得，开始上数学课时内心萌生「我已经不是小孩子」的感觉。
虽然这么说，但不久之前还是小学生，实际上也还是小孩子。即便从算数转为数学，对名称上的变化感到强烈冲击，也没有足够的能力了解其中的差异。
我们经常听到──特别是对数学感到棘手的人──
这样说：「出社会后，数学就用不到啦，为什么还要学得那么辛苦呢？虽然加减乘除还会用到，但学习数学根本就没有好处。」
对数学老师来说，这是非常悲哀的想法，相信拿起这本书的你肯定没有这样的想法，但这也是无可奈何的，对知性、感性都尚未成熟的国中生来说，想要他们了解学习数学的意义、价值，的确是相当困难的事情。
然而，转眼间升上高中，心智皆将成熟的时候，数学却变得格外困难。不要说了解其中的意义、价值，大多数人煞费苦心才勉强考到及格。
正因为这样，所以我才执笔本书。
数学是人类从史前时代，绵绵传承下来的睿智结晶。尝试翻阅数学的历史，我想各位成熟的大人也会类似的感触。在人类获得永不褪色智慧的故事当中，为了让读者能体会箇中感动，我全心全意着述了本书。
本书将国中学到的数学分成几何学（第1章）、代数学（第2章）、分析学（第3章）、机率统计学（第4章）四章，各章前半部分记述相关的数学史，后半部分统整希望读者在该领域学得的东西。另外，内容也适时穿插「问题」，但本书（基本上）不是学习用的教科书，不擅长数学的读者可以快速浏览感到困难的地方。当然，自负有能力的读者，请一定要挑战看看这些问题，体会解开问题的乐趣。
那么，我们就开始吧。接触后述内容中天才们的伟业之后：
「啊啊，数学果然是全民应该学习的学问。」
若能产生这样的想法，这是笔者我最大的荣幸。
图书试读
借由中学的数与式学习：
I想像力
II合理的过程
III简化题目
西方希腊、东方印度
如同第1章所述，希腊透过几何学发展了论证数学，但对希腊人来说，「数学」的讨论对象主要是图形，他们处理的多是长度、面积等「量值」，比较没有发展数的计算技术。
与此相对，印度推展了数的计算技术。这与印度人早先採用以十种「数」（如今的阿拉伯数字）来表示所有数的「进位计数法」，有密切关系。印度人很早就发明「0」的概念，最晚约从第五、六世纪开始，便已使用现代的阿拉伯代数学数字来表示数的概念。
其他古代文明则发明了罗马数字、中文数字，採用遇到进位便使用新数字的「数位计数法」。
以数位计数法来记录数字较为方便，例如以阿拉伯数字表示「 1000038 」，没有办法一眼就看出数值为何，但若以数位计数法的中文数字表示成「一百万○三十八」，马上就可以看出数值。然而，若以数位计数法计算「一百三×二十九」，你会很不知所措吧！与此相对，计算「 103 × 29 」简单许多。实际动手操作，你就能体会进位计数法在计算上有着压倒性的优势。
之后，约五、六世纪，随着0概念的发明，东印度採用了进位计数法，致力于发展计算技术的数学。
长年不被接受的「负数」
大约七世纪时，印度人最先想出小于0的数负数，归功于当时他们发展出最先进的数文化，但「负数」，但并非发想自数学家。
发明负数概念的是印度商人，他们将「 100万元的借款」表示成「 100万元的利益」，这是最早的负数例子。
印度数学家很快地接受了负数的概念，在七世纪中期的印度数学书籍中，即可发现有关于负数的记载。另一方面，欧洲数学家到了十七世纪才接受负数的概念。
在长达千年的历史中，西方数学家顽强地反对将负数纳入数学领域，这是为什么呢？因为负数是抽象的，需要想像力。例如，但我们没有办法具体举出「－3个面包」。就无法具体表示这点来说，负数和正数完全不一样，负数是属于概念性、抽象性的。
而且，若单纯仅把负数当成「比0小的数」，那么负数的计算，尤其是乘法、除法，会令人不知道怎么计算。
用户评价
阅读《数学思辨之旅：拆解国中数学，建立数学素养与能力》的过程，就像是在一次精心策划的探险。对于我这样一个曾经与数学“绝缘”的人来说，国中数学的晦涩和复杂，一直是内心深处的阴影。那些冷冰冰的公式、抽象的定理，总是让我感到无从下手，只能机械地背诵，然后祈祷考试时能遇到熟悉的题目。即便偶尔能解出题目，也只是因为记住了某个“套路”，而对背后的逻辑原理一无所知。这种学习方式不仅效率低下，更让我对数学产生了深深的厌倦和畏惧。我曾经尝试过无数种方法，希望能找到一条通往数学世界的捷径，但结果总是令人沮丧。直到我遇到了这本书。它并没有像其他教材那样，直接抛出大量艰深的理论，而是选择“拆解”国中数学的脉络。作者用一种非常接地气的方式，从生活中的现象入手，引导我一步步地去理解每一个数学概念的诞生和发展。我特别喜欢书中对“为什么”的解答，它让我知道，数学知识并非凭空产生，而是为了解决现实问题而不断演进的。更重要的是，这本书强调“数学素养与能力”的培养，它不仅仅是在教我解题技巧，更是在培养我的逻辑思维、分析能力和创新能力。我开始意识到，数学的真正价值在于它能够帮助我们理解世界、解决问题。这本书让我摆脱了对数学的恐惧，而是将其视为一种有用的工具，一种认识世界的语言。
评分这本书的出现，无疑为我打开了认识数学的新世界。《数学思辨之旅：拆解国中数学，建立数学素养与能力》这个书名本身就充满了吸引力，它承诺的不仅仅是知识的传授，更是思维的提升。过去，我对于国中数学的理解，就像是在一堆零散的积木，我能看到每一块积木的样子，但却不知道如何将它们组合成一座精美的建筑。课本上的概念，对我来说就像是独立存在的个体，缺乏内在的联系，也难以理解它们在更广阔的数学体系中的地位。做题的时候，我常常是死记硬背公式，然后机械地代入，一旦遇到稍微变通的题目，就束手无策。这种学习方式让我感到疲惫，也让我对数学产生了厌倦。这本书的独特之处在于，它并没有回避国中数学的“难点”，而是选择“拆解”它们。作者用一种非常清晰、有条理的方式，将原本复杂抽象的数学概念，一点点地剥离开来，让我能够看到它们最核心的本质。我尤其欣赏书中对于“数学素养与能力”的强调。它让我明白，学习数学的最终目的，不仅仅是为了应付考试，更是为了培养一种独立思考、逻辑分析、解决问题的能力。书中通过大量的引导性提问和启发式讲解，让我主动地去参与到数学的学习过程中，去思考，去探索，去发现。我不再是被动地接受信息，而是主动地去构建自己的知识体系。我发现，当我开始理解数学的逻辑和思想时，那些曾经让我望而生畏的公式和定理，都变得生动起来，充满了魅力。
评分翻开《数学思辨之旅：拆解国中数学，建立数学素养与能力》这本书，我仿佛踏上了一段奇妙的探索之旅。在此之前，国中数学于我而言，更像是一连串必须完成的任务，是考试成绩的衡量标准，是升学路上的绊脚石。每一次面对新的数学概念，我都感到一种莫名的压力，仿佛要将一套复杂的指令强行塞进大脑，而忽略了它们背后蕴含的逻辑和美感。我常常在解题过程中迷失方向，不知道从何下手，即使勉强解出，也只是机械地套用公式，对解题思路的理解甚是肤浅。而这本书，却颠覆了我对数学的认知。它没有简单地罗列知识点，而是着重于“拆解”国中数学的体系，让我看到这些知识点是如何相互关联，如何构成一个完整而严谨的知识体系的。作者的讲解方式非常独特，他善于用生活中的例子来引入数学概念，让我能够体会到数学与现实世界的紧密联系。例如，在讲解概率时，他会从掷骰子、抽奖等我们日常生活中常见的情境入手，让我能够直观地理解概率的含义和计算方法。这种“润物细无声”的教学方式，让我不再感到数学的遥远和高冷，而是觉得它触手可及，充满了趣味性。更重要的是，这本书不仅仅是传授知识，更注重培养我的“数学素养与能力”。它引导我思考，鼓励我质疑，让我学会如何分析问题，如何用数学的语言去描述和解决问题。我开始意识到，数学不仅仅是关于计算，更是关于逻辑推理、抽象思维和解决问题的能力。
评分《数学思辨之旅：拆解国中数学，建立数学素养与能力》这本书，为我打开了通往数学世界的一扇新大门。在此之前，国中数学对我来说，就像是一个充满迷雾的森林，我只能在小径上摸索，时常感到迷失和无助。课本上的公式和定理，对我来说就像是陌生的符号，我能够记住它们，却很难理解它们为何存在，又该如何运用。每次做题，都像是一场与自己对抗的艰难战役，我绞尽脑汁，却常常徒劳无功。这种学习经历让我对数学产生了深深的抵触心理，也让我怀疑自己是否真的具备学习数学的天赋。然而，这本书的出现，彻底改变了我对数学的看法。作者用一种极其巧妙的方式，将原本复杂的国中数学知识“拆解”，让我能够清晰地看到它们之间的内在联系和逻辑关系。我尤其欣赏书中对“数学素养与能力”的强调。它让我明白，学习数学的意义远不止于考试成绩，更在于培养一种独立思考、逻辑分析和解决问题的能力。书中通过大量的图示、生动的比喻以及与现实生活的紧密结合，将抽象的数学概念变得具体易懂。我不再是那个被动接受知识的学生，而是开始主动地去探索数学的奥秘。我发现，当我开始理解数学的本质，并将其与生活中的实际问题联系起来时，数学变得不再枯燥，反而充满了趣味和挑战。
评分《数学思辨之旅：拆解国中数学，建立数学素养与能力》这本书，简直是我数学学习道路上的“救星”。在此之前，我一直认为数学是一门极其枯燥且抽象的学科，课本上的符号和公式对我来说就像是天书，我费尽力气去记忆，却总是难以理解其内在的逻辑和应用。每一次的考试，都让我感到压力倍增，我常常在解题时陷入僵局，对自己的数学能力感到深深的怀疑。我尝试过各种辅导班和学习资料，但它们往往只是简单地重复知识点，缺乏深入的解析和启发，并不能真正解决我的困惑。然而，这本书却以一种极其新颖的方式，颠覆了我对数学的认知。它并没有回避国中数学的“难点”，而是选择将它们“拆解”，让我能够清晰地看到每一个知识点是如何产生的，又是如何与其他知识点相互关联的。我尤其喜欢书中对“数学素养与能力”的培养。它不仅仅是教我“如何做题”，更是教我“如何思考”。通过大量的案例和生动的讲解，我能够直观地理解那些抽象的数学概念，并且学会如何用数学的语言去分析和解决问题。我不再是那个被动接受知识的学生，而是开始主动地去探索数学的奥秘，去发现数学的魅力。这本书让我意识到，数学并非遥不可及，而是渗透在我们生活的方方面面。我开始对数学产生了浓厚的兴趣，并且发现自己能够更自信地面对各种数学挑战。
评分拿到《数学思辨之旅：拆解国中数学，建立数学素养与能力》这本书，我感到非常惊喜，因为它完全超出了我对于一本数学教材的预期。我一直以来对数学的学习都处于一种“知其然，不知其所以然”的状态，课本上的公式和定理，对我来说更像是一些需要死记硬背的条条框框，我能够运用它们来解题，但却很难理解它们背后的逻辑和思想。这让我对数学的学习感到十分被动和枯燥，也让我对自己的数学能力产生了怀疑。然而，这本书却以一种全新的视角，将国中数学的知识体系进行了“拆解”。作者并没有简单地罗列知识点，而是着重于讲解每一个概念的产生背景、发展过程以及它在整个数学体系中的地位。我尤其喜欢书中对“数学思维”的强调，它让我明白，数学不仅仅是一堆公式的堆砌，更是一种解决问题的思维方式。书中运用了大量的图示和生活化的例子，将抽象的数学概念变得具体易懂，让我能够轻松地理解那些曾经让我困惑不解的数学原理。例如，在讲解几何证明时，作者并没有直接给出复杂的证明过程，而是从最基本的公理和定义出发，一步步引导我构建自己的证明逻辑，让我能够真正理解证明的精髓。这种“引导式”的学习方式，极大地激发了我学习数学的兴趣，让我不再害怕面对数学难题，而是能够以一种更加自信和主动的心态去探索数学的奥秘。
评分拿到这本《数学思辨之旅：拆解国中数学，建立数学素养与能力》之前，我其实对数学一直抱着一种复杂的情感。它像一个总是让我有些畏惧，又忍不住想要去探索的谜团。尤其是升上国中之后，数学的抽象性和逻辑性陡然增加，常常让我感到力不从心。课本上的公式和定理，对我来说就像是天书，虽然努力去记去背，但总感觉知其然不知其所以然，更别说在解题时灵活运用了。做练习题的时候，即使答案正确，我也很难说清楚中间的推理过程，更别提去发现题目背后隐藏的数学思想了。这种“填鸭式”的学习方法，不仅让我效率低下，更磨灭了我学习数学的兴趣。我常常在想，数学真的就只能是枯燥的数字和符号吗？有没有一种方式，能够让我真正理解数学的逻辑，培养出分析问题、解决问题的数学能力？就在我为此感到困惑和沮丧的时候，偶然间看到了这本书的介绍。它承诺要“拆解国中数学”，这一下子就抓住了我的眼球。我迫切地希望这本书能够提供一种全新的视角，让我不再是被动地接受知识，而是能够主动地去探索和理解数学的本质。这本书的装帧设计也颇具匠心，封面上的线条和图形仿佛预示着一次逻辑严谨又充满想象力的探索旅程。我翻开目录，看到那些细致的章节划分，似乎预示着它将从最基础的概念开始，逐步深入，层层剥茧，将国中数学的体系一一展现在我面前。我期待着这本书能够给我带来一场思维的革命，让我从此爱上数学，并且能够自如地运用数学的思维去分析和解决生活中的各种问题。我深信，掌握了数学思维，就等于拥有了一把开启未知世界大门的钥匙，而这本书，正是我开启这把钥匙的指引。
评分《数学思辨之旅：拆解国中数学，建立数学素养与能力》这本书，真的给我带来了前所未有的启发。回想我之前的国中数学学习经历，简直可以用“跌跌撞撞”来形容。我总是被那些晦涩的公式和抽象的概念搞得焦头烂额，明明花了大量的时间去背诵和练习，却总是难以融会贯通，更不用说在考试中取得好成绩了。我常常感到自己像是在进行一场孤独的战斗，面对着一道道难题，却找不到有效的武器。我曾经尝试过各种各样的辅导资料，但它们大多是内容的堆砌，缺乏清晰的逻辑脉络，也无法真正点燃我对数学的兴趣。就在我几乎要放弃的时候，这本书如同一股清流，让我重新看到了希望。它没有像其他书籍那样，上来就丢出大量的公式和定义，而是从更宏观的视角，引导我理解数学的本质。我尤其喜欢书中对于“思维方式”的强调。它告诉我，学习数学不仅仅是记忆知识点，更重要的是培养一种分析问题、解决问题的能力，一种逻辑推理的能力。书中通过大量的案例和详实的解释，将国中数学的知识点进行“拆解”，让我能够看到它们之间是如何相互联系，如何构成一个有机整体的。我最深刻的体会是，这本书教会了我如何去“思考”数学。它鼓励我去质疑，去探索，去寻找不同的解题方法，而不是简单地套用模板。我发现，当我开始用一种更加积极主动的心态去面对数学时，我能够发现那些隐藏在题目背后的逻辑，也能够更加自如地运用所学的知识去解决问题。
评分这本书的出现，简直像是在我原本混沌的数学学习道路上点亮了一盏明灯。长久以来，我总觉得国中数学的学习像是被一种无形的墙壁隔离开来，我能看到墙外的风景，却无法跨越那道高墙去亲身体验。那些课本上的概念，比如函数、几何证明、代数方程，它们在我眼中常常是孤立的，缺乏内在的联系，也缺乏在真实世界中的应用场景。我曾经尝试过请教同学，参加课后辅导，但往往只是换来更多的困惑和更深的挫败感。我开始怀疑自己的数学天赋，甚至一度认为自己与数学无缘。然而，《数学思辨之旅》这本书，却以一种极其平易近人的方式，向我展示了数学世界的另一面。它没有一开始就抛出复杂的公式和定理，而是从更宏观的视角，引导我思考数学的意义和价值。我尤其喜欢它在讲解每一个概念时，都会追溯其产生的背景和发展过程，这让我能够理解，为什么数学会发展成今天的样子，以及每一个概念是如何在解决实际问题中诞生的。这种“知其然，更知其所以然”的学习方式，极大地激发了我内在的学习动力。我开始不再害怕那些看似晦涩的数学符号，而是将它们看作是描述世界规律的精妙语言。书中用生动的案例和图示，将抽象的概念具体化，让我能够轻松地理解那些曾经让我头疼不已的数学原理。我仿佛置身于一个数学的乐园，在书中作者的引导下，我好奇地探索着每一个角落，发现着数学之美。
评分读完《数学思辨之旅：拆解国中数学，建立数学素养与能力》，我最大的感受就是，原来数学可以这样有趣！一直以来，我对数学的印象都是枯燥、抽象、难懂。课本上的定理公式，对我来说就像一个个冰冷的符号，难以理解其中的逻辑和应用。我常常在解题时感到无从下手，即使勉强做出来，也感觉自己只是在机械地模仿，而没有真正理解。这种学习方式让我对数学产生了深深的畏惧感，也让我开始怀疑自己是否真的适合学习数学。然而，这本书却彻底改变了我的看法。作者用一种非常生动、形象的方式，将国中数学的各个知识点一一“拆解”，让我能够轻松地理解那些曾经让我头疼的概念。他不仅仅是讲解“是什么”，更重要的是讲解“为什么”和“怎么用”。我喜欢他运用大量的图示和实际案例，将抽象的数学概念具象化，让我能够看得见，摸得着。例如，在讲解几何图形的性质时，书中提供了各种各样清晰的图解，让我能够直观地理解角度、边长之间的关系。在讲解方程的解法时，他会用天平平衡的比喻，让我能够形象地理解方程的意义。这本书最吸引我的地方在于，它不仅仅是教授知识，更是引导我去思考。它鼓励我去质疑，去探索，去寻找不同的解题思路。我发现，通过这本书的学习，我不再只是一个被动接受知识的学生，而是一个主动探索数学世界的探险家。我开始对数学产生了浓厚的兴趣，并且发现自己能够用更灵活、更具创造性的方式去解决数学问题。
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