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　　《微积分》究竟是在说什么？它究竟又能做什么？

　　这是绝大多数学理工商经管等科系的人应该要「问」而又「没有问」的问题。

　　为什么没有问的原因，不外乎不知道该从何问起，所以让我们一起从根本来谈起。其实《微积分》真正的目的不是在教人们如何去微分？或是如何积分？

　　事实上在17世纪，牛顿爵士(Sir Isaac Newton，1643~1727) 和德国数学家莱布尼兹（Gottfried WilhelmLeibniz，1646~1716）是为了要思考在极限状态下的世界，各种事物的「因」与「果」之间的关系而发明《微积分》

　　所以《微积分》事实上是一门处理与研究「瞬息万变」的大学问。
　
　　本书以特殊而精准的图解方式，详尽而深入浅出的方式，为你解说《微积分》的究竟与道理，更重要的是，书中使用了大量的「典范范例」，对于相关的问题以实例做成典范，配合精准的图解，使每一个函数都以特性曲线图的方式展现出来，并在完成微分或积分之后，再用特性曲线图的变化，对于它的原因及道理做成更进一步与更详尽的解说与分析，活化学习思路，图像化理解这个美丽的宇宙知识，摆脱教条式的背诵还有不明究理的定理，透过这样的学习方式，学以致用，让你在专业领域的运用得心应手，更甚至让你在探究宇宙真理的路上，拥有了更清晰的方向与洞见。

本书九大特色

　　(1)    本书不以传统的教条方式教学。具有说清楚、讲明白之特色
　　(2)    本书具有特殊设计的「口语化」教学特色
　　(3)    本书具有特殊设计的「生活化」之教学特色
　　(4)    本书具有特殊设计之「精准化图表」之教学特色
　　(5)    本书具有特殊设计的「教人以智慧」之教学特色
　　(6)    本书具有特殊设计的【典范范例】之教学特色
　　(7)    本书具有特殊设计的【解析】之项目，具深入解析与分析之特色
　　(8)    本书具有特殊设计的【研究与分析】之项目供深入研发之特色
　　(9)    本书具有依程度与重要性而设计以「★」号作为代表之特色

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作者简介

张之岚

　　学历：电机工程博士。

　　经历：
　　电子工程系主任。
　　资讯工程系主任。
　　教育部全国优良教师奖。
　　中华民国考试院典试委员。
　　经济部中央标准局电子工程国家标准起草委员。
　　经济部中央标准局资讯及通信国家标准起草委员。
　　台湾杰出发明家奖章。
　　美国Golden State 大学发明博士奖章。

 

第1章 绪 论 18
☆ 1.1 超越的思维 ........................................ 20
☆ 1.2 不要用计算来困住自己.................................. 23
☆ 1.3 数学小神童是真的吗？.................................. 25
☆ 1.4 近代文明的基石 ........................................ 28
☆ 1.5 伟大的芝诺诡论(Paradoxes of Zeno ).................... 30
☆ 1.6 金字塔的神奇 ........................................ 32
☆ 1.7 工具的发明使人类进入超越的时代........................ 33
☆ 1.8 把数学口语化 ........................................ 34

第2章 数学是宇宙的真理 36
☆ 2.1 你还在土法炼钢吗？.................................... 38
☆ 2.2 数学是一种伟大的思维.................................. 40
☆ 2.3 在「答案」背后的意义...................................... 42
☆ 2.4 数学是美也是真理...................................... 43
☆ 2.5 数值在历史上的迷思.................................... 45
☆ 2.6 病毒数学有惊人智慧.................................... 46
☆ 2.7 数学是代表宇宙的真理.................................. 48
☆ 2.8 数学之唯美 ........................................ 52
☆ 2.9 复数使宇宙变得伟大.................................... 54
☆ 2.10 世界上最美的方程式.................................... 56
☆ 2.11 如何解读世界上最美的方程式............................ 57
☆ 2.12 思维的特质使人成为天才................................ 61

第3章 大自然的曼妙哲学与原理 64
☆ 3.1 脱离传统的制度 ........................................ 66
☆ 3.2 只要懂得她就不会忘记她................................ 68
☆ 3.3 伟大的生命曲线 ........................................ 72
☆ 3.4 函数是一种因与果的对应关系............................ 75
☆ 3.5 明晰透彻的解悟 ........................................ 79
☆ 3.6 【典范范例】集锦....................................... 81
【★★★典范范例3-01】.................................. 81
【★★★典范范例3-02】.................................. 85
【★★★典范范例3-03】.................................. 88
【★★★典范范例3-04】.................................. 89
【★★★典范范例3-05】.................................. 91
【★★★典范范例3-06】.................................. 92
【★★★典范范例3-07】.................................. 94
【★★★★典范范例3-08】[ 研究与分析].................... 95

第4章 从微积分的思维说起 100
☆ 4.1 人们自古就喜欢算命................................... 102
☆ 4.2 微分是研究因果相应之道的大学问....................... 103
☆ 4.3 积分是研究「积因得果」之道........................... 106
☆ 4.4 微积分是一种研究「瞬息万变」的大学问................. 110
☆ 4.5 不要把微分与导数弄混淆了............................. 113
☆ 4.6 为什么积分是反微分呢？............................... 114
☆ 4.7 微分与积分在观念上的精细解析......................... 116
【★★★问题与研究】................................... 118
☆ 4.8 直线的积分会是什么？................................. 120
【★★★问题与研究】................................... 122
☆ 4.9 生命曲线的微分会是什么？............................. 123
【★★★问题与研究】................................... 125

第5章 让我们的思维飞到无穷远的地方 130
☆ 5.1 人类因幻想而伟大..................................... 132
☆ 5.2 来到那「极限」的地方................................. 133
☆ 5.3 你知道1=2 的悖论吗？................................. 135
☆ 5.4 极限(limits) 的问题与思维............................ 137
☆ 5.5 【典范范例】集锦...................................... 140
【★★★典范范例5-01】................................. 140
【★★★典范范例5-02】................................. 141
【★★★典范范例5-03】................................. 142
【★★★典范范例5-04】................................. 144
【★★★典范范例5-05】................................. 145
【★★★典范范例5-06】................................. 147
【★★★典范范例5-07】................................. 149
【★★★★典范范例5-08】 [ 研究与分析]................. 151
【★★★★典范范例5-09】 [ 研究与分析]................. 155

第6章 微分究竟想做什么？ 158
☆ 6.1 读书的学问之道 ....................................... 160
☆ 6.2 事情永远都在变化..................................... 162
☆ 6.3 微分是求微量的因果之道............................... 164
☆ 6.4 进一步的谈导数与微分................................. 166
☆ 6.5 微分就是研究瞬息变化的因果之道....................... 169
☆ 6.6 数学中的微分方法..................................... 170
☆ 6.7 对于微分的结果之解读与学问之道....................... 171
☆ 6.8 【典范范例】集锦...................................... 177
【★★★典范范例6-01】................................. 177
【★★★典范范例6-02】................................. 180
【★★★★典范范例6-03】 [ 研究与分析]................. 182
【★★★★典范范例6-04】 [ 研究与分析]................. 185
【★★★★典范范例6-05】 [ 研究与分析]................. 188
【★★★★典范范例6-06】 [ 研究与分析]................. 192

第7章 奇特的三角函数微分 196
☆ 7.1 世界上最实用的科学................................... 198
☆ 7.2 基本三角函数的微分................................... 200
☆ 7.3 为什么sin(x) 的微分是cos(x) 呢？..................... 201
☆ 7.4 为什么cos(x) 的微分却是-sin(x) 呢？.................. 205
☆ 7.5 综合型三角函数的微分................................. 207
☆ 7.6 【典范范例】集锦...................................... 209
【★★★典范范例7-01】................................. 209
【★★★典范范例7-02】................................. 211
【★★★典范范例7-03】................................. 213
【★★★★典范范例7-04】[ 研究与分析]................... 215
【★★★★典范范例7-05】[ 研究与分析]................... 218
【★★★★典范范例7-06】[ 研究与分析]................... 221

第8章 为大自然说话的曲线 226
☆ 8.1 大自然的生命道理..................................... 228
☆ 8.2 用白话文讲「指数」................................... 231
☆ 8.3 自然指数在数学上的定义............................... 232
☆ 8.4 指数运算定律 ....................................... 233
☆ 8.5 指数函数的特性曲线................................... 235
☆ 8.6 这个e=2.71828 是什么意思？........................... 236
☆ 8.7 「对数」是什么意思？................................. 238
☆ 8.8 用白话文讲「对数」................................... 240
☆ 8.9 【典范范例】集锦...................................... 241
【★★★典范范例8-01】................................. 241
【★★★典范范例8-02】................................. 243
【★★★典范范例8-03】................................. 244
【★★★典范范例8-04】................................. 246
【★★★典范范例8-05】................................. 247
【★★★★典范范例8-06】 [ 研究与分析]................. 249
【★★★★典范范例8-07】 [ 研究与分析]................. 251
【★★★★典范范例8-08】 [ 研究与分析]................. 253
【★★★★典范范例8-09】 [ 研究与分析]................. 256
【★★★★典范范例8-10】 [ 研究与分析]................. 257

第9章 用白话文讲指数与对数的微分 260
☆ 9.1 再用白话文讲「指数」................................. 262
☆ 9.2 自然指数特性曲线图的意义............................. 264
☆ 9.3 在指数运算上最常犯的一些错误......................... 266
☆ 9.4 指数的微分是一条打不死的龙........................... 267
☆ 9.5 指数微分与符号法则................................... 269
☆ 9.6 什么是对数函数 ....................................... 270
☆ 9.7 如何口语化数学 ....................................... 271
☆ 9.8 口语化的「对数」函数................................. 272
☆ 9.9 奇妙的对数微分 ....................................... 277
☆ 9.10 【典范范例】集锦...................................... 279
【★★★典范范例9-01】[ 研究与分析]..................... 279
【★★★典范范例9-02】................................. 282
【★★★典范范例9-03】................................. 284
【★★★典范范例9-04】................................. 285
【★★★典范范例9-05】................................. 288
【★★★★典范范例9-06】[ 研究与分析]................... 290

第10章 积分究竟是什么？ 294
☆ 10.1 积分的究竟思维 ....................................... 296
☆ 10.2 积分在数学上的意义................................... 298
☆ 10.3 积分有什么用呢？..................................... 302
☆ 10.4 【典范范例-1】介于直线之间的面积..................... 305
☆ 10.5 【典范范例-2】介于曲线之间的面积..................... 310
☆ 10.6 积分的进阶思维 ....................................... 313
☆ 10.7 多重积分的意义 ....................................... 316
☆ 10.8 常数的一次积分是什么意思？........................... 319
☆ 10.9 常数连续两次的积分是什么意思？....................... 322
☆ 10.10 常数经过三次的积分有什么意思？....................... 324
☆ 10.11 如何求两曲线间的面积................................. 327
☆ 10.12 【典范范例】集锦...................................... 329
【★★★典范范例10-01】................................ 329
【★★★典范范例10-02】................................ 331
【★★★典范范例10-03】................................ 332
【★★★典范范例10-04】................................ 334
【★★★典范范例10-05】................................ 335
【★★★典范范例10-06】................................ 337

第11章 用白话文讲对数与指数的积分 340
☆ 11-1 什么是指数与自然指数................................. 342
☆ 11.2 指数的基本运算与积分................................. 343
☆ 11.3 还是一条不死的龙..................................... 344
☆ 11.4 口语化的指数与对数关系............................... 347
☆ 11.5 对数与指数的积分与特殊意义........................... 350
☆ 11.6 指数与对数的常用积分公式............................. 352
☆ 11.7 【典范范例】集锦...................................... 353
【★★★典范范例11-01】[ 研究与分析].................... 353
【★★★典范范例11-02】[ 研究与分析].................... 356
【★★★典范范例11-03】[ 研究与分析].................... 358
【★★★典范范例11-04】[ 研究与分析].................... 360
【★★★典范范例11-05】[ 研究与分析].................... 362
【★★★★典范范例11-06】[ 研究与分析].................. 364
【★★★★典范范例11-07】[ 研究与分析].................. 367
【★★★★典范范例11-08】[ 研究与分析].................. 369
【★★★★典范范例11-09】[ 研究与分析].................. 371
【★★★★典范范例11-10】[ 研究与分析].................. 373
【★★★★典范范例11-11】[ 研究与分析].................. 375

第12章 卓越的三角函数积分 378
☆ 12.1 三角学是大自然的祕密................................. 380
☆ 12.2 从天文到地理 ....................................... 381
☆ 12.3 三角函数的数值观念................................... 382
☆ 12.4 热门的手机是三角函数的产品........................... 384
☆ 12.5 三角函数的积分式..................................... 386
☆ 12.6 【典范范例】集锦...................................... 387
【★★★典范范例12-01】[ 研究与分析].................... 387
【★★★典范范例12-02】[ 研究与分析].................... 390
【★★★★典范范例12-03】[ 研究与分析].................. 393
【★★★★典范范例12-04】[ 研究与分析].................. 396
【★★★★典范范例12-05】[ 研究与分析].................. 400
【★★★★典范范例12-06】[ 研究与分析].................. 406
【★★★★典范范例12-07】[ 研究与分析].................. 409

第13章 特异的奇函数与偶函数 412
☆ 13.1 不可不知的函数对消作用............................... 414
☆ 13.2 奇函数的定义 ....................................... 415
☆ 13.3 sin 函数是奇函数还是偶函数？.......................... 416
☆ 13.4 偶函数的定义 ....................................... 417
☆ 13.5 由一半而推知另一半................................... 419
☆ 13.6 奇函数与偶函数的特异功能............................. 421
☆ 13.7 【典范范例】集锦...................................... 424
【★★★典范范例13-01】[ 研究与分析].................... 424
【★★★典范范例13-02】[ 研究与分析].................... 427
【★★★★典范范例13-03】[ 研究与分析].................. 429
【★★★★典范范例13-04】[ 研究与分析].................. 430
【★★★★典范范例13-05】[ 研究与分析].................. 433

第14章 高阶的面积分与体积分 436
☆ 14.1 积分的进阶思维 ....................................... 438
☆ 14.2 不规则平面面积之处理................................. 442
☆ 14.3 如何求两曲线间的面积................................. 444
☆ 14.4 如何计算物体之体积................................... 446
☆ 14.5 圆盘法(circular-disk method)......................... 449
☆ 14.6 柱壳法(cylindrical shell method)..................... 453
☆ 14.7 【典范范例】集锦...................................... 456
【★★★典范范例14-01】................................ 456
【★★★典范范例14-02】................................ 457
【★★★典范范例14-03】................................ 459
【★★★典范范例14-04】................................ 461
【★★★典范范例14-05】................................ 463
【★★★典范范例14-06】................................ 465
【★★★典范范例14-07】................................ 467
【★★★典范范例14-08】................................ 469
【★★★★典范范例14-09】.............................. 471

第15章 进入虚幻世界 474
☆ 15.1 虚数就是「虚幻的数」吗？............................. 476
☆ 15.2 在实数中无解的问题................................... 478
☆ 15.3 虚数让任何「难题」都可以找到答案..................... 479
☆ 15.4 宇宙中最大的数系..................................... 481
☆ 15.5 复数平面的运算 ....................................... 483
☆ 15.6 复变数的微分 ....................................... 485
☆ 15.7 复变数的积分 ....................................... 486
☆ 15.8 【典范范例】集锦...................................... 487
【★★★典范范例15-01】................................ 487
【★★★典范范例15-02】................................ 487
【★★★典范范例15-03】................................ 488
【★★★典范范例15-04】................................ 489
【★★★★典范范例15-05】[ 研究与分析].................. 490
【★★★★典范范例15-06】[ 研究与分析].................. 491
【★★★★典范范例15-07】[ 研究与分析].................. 493
 

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